• $O(\sqrt{n})$ 求 $n$ 的欧拉函数

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

using i64 = long long;

// sqrt(n) 计算 phi(n)
int phi(int n) {
	int ans = n;
	
	// i <= n / i; 比 i * i <= n; 更安全
	// 当 n = 2147483647 时, i * i <= n 会超 int
	for (int i = 2; i <= n / i; i++) {
		if (n % i == 0) {
			while (n % i == 0) n /= i;
			ans = ans / i * (i - 1);  // 这里先除后乘更安全
		}
	}
	// 最后 n 可能还剩一个质数
	// 比如 n = 12 时, 最后会剩下 3
	if (n > 1) ans = ans / n * (n - 1);
	return ans;
}

int main() {	
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0); cout.tie(0);

    int T, n, d;
    cin >> T;
    while (T--) {
        cin >> n >> d;
        if (n % d) cout << 0 << '\n';  // d 不是 n 的约数
        else cout << phi(n / d) << '\n';
    }
    return 0;
}

• 线性筛法求 $1 \sim n$ 所有数的欧拉函数
• 假设一个数分解质因数后为 $x = a_1^{b_1} \times a_2^{b_2} \times a_3^{b_3}$
• 小于 $x$ 且与 $x$ 互质的数的个数：$\phi(x)=x \times (1-\frac{1}{a_1}) \times (1-\frac{1}{a_2}) \times (1-\frac{1}{a_3})$
• $6 = 2 \times 3$
  • $\phi(6) = 6 \times (1 - \frac{1}{2}) \times (1 - \frac{1}{3})$
• $12 = 2^2 \times 3$
  • $\phi(12) = 12 \times (1 - \frac{1}{2}) \times (1 - \frac{1}{3})$

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

using i64 = long long;

vector<int> euler(int n) {
    vector<bool> is_p(n + 1, true);  // 是否为质数
    vector<int> phi(n + 1, 1);       // phi(i)
    vector<int> p;                   // 存储质数
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
        if (is_p[i]) {
            p.push_back(i);
            phi[i] = i - 1;  // 质数的 phi 为 i - 1
        }
        for (int t : p) {
            if (i * t > n) break;
            is_p[i * t] = false;
            if (i % t == 0) {
                // i 里面有 t
                phi[i * t] = phi[i] * t;
                break;
            } else {
                phi[i * t] = phi[i] * (t - 1);
            }
        }
    }
    return phi;
}

int main() {	
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0); cout.tie(0);

    // O(n) 预处理除所有的 phi
    vector<int> phi = euler(1000000);

    int T, n, d;
    cin >> T;
    while (T--) {
        cin >> n >> d;
        if (n % d) cout << 0 << '\n';  // d 不是 n 的约数
        else cout << phi[n / d] << '\n';
    }
    return 0;
}